Вирівнювання мереж трилатерації Як і в тріангуляції та полігонометрії,

Як і в тріангуляції та полігонометрії, вирівнювання мереж трилатерації може виконуватись корелатним або параметричним методами, в яких застосовуються принципи способу найменших квадратів, що вивчаються в курсі “Математична обробка геодезичних вимірів”. Тут ми зупинимося на процедурі вирівнювання мереж трилатерації і методиці складання умовних рівнянь в корелатному методі вирівнювання.

Корелатний метод

Процедура вирівнювання трилатерації полягає в наступному:

– складанні рівнянь зв’язку, виражених залежністю між кутами та сторонами;

– переході від рівнянь зв’язку до рівнянь поправок в кути;

– заміні в отриманих рівняннях поправок в кути поправками в сторони;

– переході від лінійних рівнянь поправок до нормальних рівнянь;

– розв’язку нормальних рівнянь і знаходження поправок у виміряні значення сторін;

– оцінці точності результатів вирівнювання.

Таким чином, одним з основних допоміжних етапів є заміна поправок в кути поправками в сторони. Для вирішення цієї задачі розглянемо рис. 4.7.

Рис. 4.7. Зв’язок між поправкою в кут і поправками в сторони

Нехай в даному трикутнику АВС виміряні сторони SAB=c, SBC=a, SAC=b.

Запишемо формулу

Знайдемо частинні похідні .

Маємо

Видно, що

де Р — площа трикутника АВС.

З іншого боку

де hB, hA, hC — висоти трикутника, опущені відповідно з вершин кутів до сторін b, a, c.

Таким чином, рівняння (4.23) з врахування (4.24) можна записати

З трикутника ВАМ слідує, що

Звідси

Із трикутника АМС

Підставивши (4.24) та (4.28) в першу формулу системи (4.22) маємо

Аналогічно із розгляду трикутників ВКС і АСК маємо

Та

З врахуванням отриманих виразів (4.29)–(4.31) помилка в куті буде

де VB, VA, VC – відповідно поправки в сторони b, a, c.

Умовне рівняння в геодезичному чотирикутнику

Рис. 4.8. Умовне рівняння геодезичного чотирикутника

Розглянемо геодезичний чотирикутник ABCD (рис. 12). Запишемо рівняння суми кутів у вершині D. Маємо рівняння зв’язку

де β1=ÐBDA; β2=ÐBDC; β3=ÐADC.

Перейдемо від виразу (12) до рівняння помилок

де Vi — поправки в кут і

Тут βi — кут і вирахуваний за виміряними сторонами.

Підставивши у формулу (4.34) замість поправок в кути поправки в сторони, згідно формули (4.32) отримаємо

Після приведення коефіцієнтів при однакових поправках в кути маємо

В приведених формулах (4.36) і (4.37) — відповідно висоти трикутників опущені з вершини D на сторони AB, BC та AC.

Умовне рівняння в центральній системі

Нехай в центральній системі (рис. 4.9) виміряні всі сторони. Тоді стає можливим вирахувати всі кути у вершині Оі та скласти рівняння зв’язку

Рис. 4.9. Умовне рівняння в центральній системі

Звідси умовне рівняння центральної системи буде

де

Тут β1, β2, β3 — обчислені за виміряними сторонами кути.

Виразимо поправки V1, V2, V3 через поправки в сторони за формулою (4.32). Маємо

або

Ще раз зауважуємо, що розв’язування умовних рівнянь та оцінка точності вирівняних величин здійснюється, як і в тріангуляції та полігонометрії, способом найменших квадратів, який вивчається в курсі “Математична обробка геодезичних вимірів”.

Інші цікаві матеріали

Париж, його історія, культура та суспільство
Метою роботи є історичний розгляд міста Парижа, його сучасний стан та прогнози на майбутнє. Згідно мети, було поставлено наступні завдання: проаналізувати історичний розвиток Парижу; дослідити сучасний стан м ...

Інтеграційна стратегія України
Унікальність переважаючої більшості країн колишнього СРСР полягає в тому, що вони виникли на руїнах відносно цілісної економічної і політичної системи. У зв'язку з цим ним об'єктивно необхідні час і відповідні зусилля ...

Культурно-освітній комплекс
Однією із складових соціальної інфраструктури є інтелектуальний потенціал В районі функціонує 47 загальноосвітніх навчальних закладів, в яких навчається 4080 учнів. З них 4 навчально-виховних комплекси (3 в смт. Чемерівці, 1 ...