Метричні, псевдометричні, ультраметричні простори. Приклади.

Метрикою

на множині X називається довільна функція двох аргументів d: XX→R, для якої виконано умови:

1) для довільних x,y є X: d(x,y)≥0 – невід’ємність;

2) для довільних x,y є X: d(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y – невиродженість;

3) для довільних x,y є X: d(x,y)=d(y,x) – симетричність;

4) для довільних x,y,z є X: d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) – нерівність трикутника;

Пара (X,d), де X–довільна множина, а d–метрика на X, називається метричним простором.

Значення d(x,y) називають відстанню між точками x та y.

Найважливішим метричним простором є множина дійсних чисел R з метрикою, заданою як d(x,y)=|x-y|. Ця ж формула задає стандартну відстань і між елементами N

,

Z

,

Q

,

C

Формула

d((x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn))= задається відстань, яку наз стандартною,між точками (x1,x2,…,xn) та (y1,y2,…,yn)множини

Nn

,

Zn

,

Qn

,

Cn

.

На довільній множині X можна задати просту метрику, названу дискретною:

d(x,y)=

Для цієї метрики нерівність трикутника 4) виконана у сильнішому вигляді:

4’) для довільних x,y,z є X: d(x,z)≤max{d(x,y), d(y,z)}.

Очевидно, при 1) з 4’) випливає 4).Функція d: XxX→R, для якої виконано 1), 2), 3), 4’), називається ультраметрикою

, а пара (X,d) – ультраметричним простором.

Приклад ультраметрики – функція на XX, де X=X1X2…Xn, задана для x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) так:

d(x,y)=

k=inf{i|xi≠yi}.

Якщо ж для d: XX→R виконано 1),3),4) та слабшу умову твердження 2):

2`) для довільного х є X: d(x,x)=0;

то d називають псевдометрикою

, а множину X з заданою псевдометрикою –псевдометричним простором. Тривіальний приклад псевдометрики, яка не є метрикою–нульова функція d(x,y)≡0.

На добутку X1xX2x…xXn (псевдо)метричних просторів(X1,d1), (X2,d2),…,(Xn,dn), (псевдо)метрику можна задати кількома способами, наприклад:

((x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn))=(d1(x1,y1)p+d2(x2,y2)p+…+dn(xn,yn)p)1/p для довільного p>1,а також ((x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn))=max{d1(x1,y1),d2(x2,y2),…,dn(xn,yn)}

Ці формули узагальнюють метрики на Rn.

Інші цікаві матеріали

Об’єкти і заповідні території Полісся
Природно-заповідний фонд становлять ділянки суші і водного простору, природні комплекси та об'єкти яких мають особливу природоохоронну, наукову, естетичну, рекреаційну та іншу цінність і виділені з метою збер ...

Ландшафти
Природа – це найважливіше та найголовніше джерело задоволення усіх матеріальних і духовних потреб людини. Людське суспільство безперервно взаємодіє з нею. Для людини природа має дуже багатообразне значення: наукове, мат ...

Застосування земельно-кадастрових робіт в методиці проекту землеустрою щодо відведення земельної ділянки для несільськог
Метою моєї курсової роботи з основ земельного кадастру є закріплення отриманих знань та їх застосування на практиці при виготовленні технічної документації зе землекористувачам різних форм власності з виконанням кадастр ...