Границя послідовності в метричному просторі. Повнота і поповнення метричного простору.
Поповненням метричного простору називається довільний повний метричний простір в який ізометрично вкладається як скрізь щільна множина.
Озн7.
Якщо відображення зберігає відстані, ін’єктивне, і простір ізометричний образу , то називають ізометричним вкладенням і кажуть, що ізометрично вкладає простір у вигляді підмножини в простір
Теорема.(Ф.Гаусдорф).
Для кожного метричного простору існує поповнення .
Доведення.
Побудуємо поповнення . Нехай -множина всіх фундаментальних послідовностей в, - псевдометрика на . При маємо Отже, на множині класів еквівалентності, які називають пучками, можна задати метрику Покажемо, що -шукане поповнення простору .
Нехай -фундаментальна пос-сть пучків-елементів . Кожен є класом еквів-сті деякої фундаментальної пос-сті в . За озн. фундаментальності для кожного , що вик-ся Утворимо пос-сть Тоді для кожного за нерівністю трикутника При маємо то, спрямовуючи отримаємо Звідси випливає, що послідовність теж є фундаментальною, і, отже, належить . Її клас еквівалентності є границею . Отже, -повний.
Інші цікаві матеріали
Складання проекту відведення земельної ділянки для будівництва
Метою курсової роботи з основ земельного кадастру є закріплення
отриманих знань та їх застосування на практиці при виготовленні технічної
документації землекористувачам різних форм власності з використанням
кадастрових ...
Регіональний розвиток центрально-українського економічного району
Проблеми регіонального
розвитку центрально-українського економічного району – це проблеми невикористаних
можливостей, нереалізованого потенціалу. Зменшення чисельності працездатного
населення, депопуляція - свідчать про ...
Експортний потенціал регіонів України
Активна
зовнішньоекономічна діяльність виступає одним з основних факторів ринкової
трансформації економіки, підвищення її ефективності і конкурентоспроможності. Розвиток
експортного потенціалу, збільшення його обсяг ...