Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення.

Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .

Твердження.

Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .

Доведення

. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній куліз центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.

Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.

Твердження.

Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .

Твердження.

В кожному метричному просторі :

1) порожня множина та є замкненими множинами;

2) об’єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;

3) перетин довільної сім’ї замкнених в множин є замкненим.

Інші цікаві матеріали

Льодовики, вічна мерзлота та їх гідрологічне
Напевне, найбільш розпоширена гірська порода у всій Вселенній – це лід. Марс, Юпітер, Сатурн складає великі маси льоду, а деякі супутники планети складені ним майже цілком. Не є виключенням і наша Земля: біль ...

Північно-Кавказький економічний район Росії
Склад Північно-Кавказького економічного району: Ростовська область, Краснодарський край, Ставропольський край; Республіки: Адигея, Дагестан, Інгушетія, Кабардино-Балкарська, Карачаєво-Черкеська, Північна Осетія і Чеченс ...

Транспорт і зв'язок
Головною ціллю в транспортної галузі є більш повне, безпечне, якісне задоволення потреб населення та економіки району у послугах транспорту, поліпшення транспортно-експлуатаційного стану автомобільних доріг і мостів, планомірни ...