Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення.

Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .

Твердження.

Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .

Доведення

. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній куліз центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.

Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.

Твердження.

Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .

Твердження.

В кожному метричному просторі :

1) порожня множина та є замкненими множинами;

2) об’єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;

3) перетин довільної сім’ї замкнених в множин є замкненим.

Інші цікаві матеріали

Порівняння Чорного та Червоного морів
Кожне море є унікальним природним явищем. Саме тому актуальність роботи полягає у дослідженні та виявлені основних закономірностей генезису, еволюції, географії, схематизації основних відмінностей Чорного та Червоного мо ...

Регіональний розвиток центрально-українського економічного району
Проблеми регіонального розвитку центрально-українського економічного району – це проблеми невикористаних можливостей, нереалізованого потенціалу. Зменшення чисельності працездатного населення, депопуляція - свідчать про ...

Рослинний світ Волинського Полісся
Актуальність теми. Важливість рослин у житті і розвитку суспільства помічена давно. Велика частка населення Землі живе поблизу лісів, а то й у самих лісам. Вивчаючи спосіб життя людей протягом історичного періоду і в на ...