Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення.

Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .

Твердження.

Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .

Доведення

. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній куліз центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.

Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.

Твердження.

Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .

Твердження.

В кожному метричному просторі :

1) порожня множина та є замкненими множинами;

2) об’єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;

3) перетин довільної сім’ї замкнених в множин є замкненим.

Інші цікаві матеріали

Нормативна грошова
Здійснення контролю, обліку якості та кількості земель, впровадження приватної власності на земельні ділянки та платного характеру використання потребують чіткого економічного механізму регулювання земельних відносин, ...

АПК Північного Кавказу
До складу Північно-Кавказького економічного району входять: Ростовська область. Краснодарський і Ставропольський краї, республіки Адигея, Дагестан, Кабардино-Балкарська, Карачаєво-Черкеська, Північна Осетія - Аланія, Ін ...

Порівняльна економіко-географічна характеристика Одеси та Луцька
Метою дипломної роботи є порівняльна економіко-географічна характеристика міст Одеси та Луцька, дослідження економічного та соціального розвитку міст. Для досягнення поставленої мети вирішувалися наступні завдання: ...