Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення.

Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .

Твердження.

Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .

Доведення

. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній куліз центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.

Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.

Твердження.

Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .

Твердження.

В кожному метричному просторі :

1) порожня множина та є замкненими множинами;

2) об’єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;

3) перетин довільної сім’ї замкнених в множин є замкненим.

Інші цікаві матеріали

Земельний кадастр і використання земель Ковалівської сільської ради
Земля є вихідною матеріальною основою добробуту як кожної людини окремо, так і суспільства в цілому, оскільки виконує функції головного засобу виробництва в сільському і лісовому господарствах; просторового базису для р ...

Аналітичний огляд розміщення продуктивних сил Львівської області
Льві́вська о́бласть —адміністративно-територіальна одиниця (область) на крайньому заході України. Є однією з трьох областей історично-культурного регіону Галичина, частиною Карпатського єврорегіону. Одна з на ...

Основні рекреаційні райони України та перспективи їх розвитку
Актуальність теми. Рекреація - діяльність, спрямована на відновлення продуктивних сил людини - набуває значного розвитку і залишається актуальною для людини, особливо в сучасних умовах її життєдіяльності. Рекреаційні ре ...