Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.
Означення.
Точка називається точкою дотику множини
в метричному просторі
, якщо
послідовність в
, збіжна в
до
.
Твердження.
Точка є точкою дотику множини
в метричному просторі
тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі
з центром
міститься деякий елемент множини
.
Доведення
. Якщо є точкою дотику
і
- послідовність точок
, збіжна до
, то для кожного
за означенням збіжності всі члени
, починаючи з деякого моменту, лежать в
. І навпаки, якщо в кожній кулі
з центром
міститься деякий елемент множини
, то позначимо
довільний елемент
, який лежить в
. Тоді послідовність
збігається до
. Доведено.
Кожна точка множини є точкою дотику для
. Якщо кожна точка дотику множини
належить
, то
називається замкненою в
множиною.
Твердження.
Множина в метричному просторі
є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з
належить
.
Твердження.
В кожному метричному просторі :
1) порожня множина та є замкненими множинами;
2) об’єднання кожних двох замкнених множин і
є замкненим;
3) перетин довільної сім’ї замкнених в
множин є замкненим.
Інші цікаві матеріали
Порівняння Чорного та Червоного морів
Кожне море є унікальним природним явищем. Саме тому актуальність
роботи полягає у дослідженні та виявлені основних закономірностей генезису, еволюції,
географії, схематизації основних відмінностей Чорного та Червоного мо ...
Регіональний розвиток центрально-українського економічного району
Проблеми регіонального
розвитку центрально-українського економічного району – це проблеми невикористаних
можливостей, нереалізованого потенціалу. Зменшення чисельності працездатного
населення, депопуляція - свідчать про ...
Рослинний світ Волинського Полісся
Актуальність
теми. Важливість рослин у житті і розвитку суспільства помічена давно. Велика
частка населення Землі живе поблизу лісів, а то й у самих лісам. Вивчаючи
спосіб життя людей протягом історичного періоду і в на ...