Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення.

Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .

Твердження.

Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .

Доведення

. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній куліз центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.

Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.

Твердження.

Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .

Твердження.

В кожному метричному просторі :

1) порожня множина та є замкненими множинами;

2) об’єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;

3) перетин довільної сім’ї замкнених в множин є замкненим.

Інші цікаві матеріали

Економічне районування та територіальна організація господарства
Актуальність теми «Економічне районування та територіальна організація господарства» полягає в тому, що розвиток галузей народного господарства, виробничих комплексів, соціально-виробничої інфраструктури, а також господ ...

Місто та його структура
В процесі урбанізації рельєф освоюваної території піддається перетворенням відповідно до потреб певного етапу розвитку міста. Основною тенденцією в зміні міського рельєфу можна вважати його вирівнювання, зв'язана з план ...

Планування та організація виконання комплексу топографо-геодезичних робіт
Актуальним питання в даному курсовому проекті є планування і організація робіт виконання комплексу топографо - геодезичних робіт при створенні планів в масштабі 1 : 50000 для ведення кадастру на території Житомирськ ...