Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН:

Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження

Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення

Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому

не

прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Інші цікаві матеріали

Вугільна промисловість України і Польщі сучасний стан та перспективи
У Європі на сьогодні тільки дві країни, – Україна і Польща, – зберегли вугледобувну промисловість, яка працює як для енергетичного, так і для металургійного сектора економіки. При цьому якщо Польща практично завершила ї ...

Особливості розміщення продуктивних сил Закарпаття
Закарпаття – мальовничий куточок України, має унікальне геополітичне та географічне положення. Розташоване на крайньому південному заході України, займає південно-західну частину Українських Карпат і Придунайську низови ...

Заповідник “Гуцульщина” Національний природний парк «Гуцульщина» створений
Національний природний парк «Гуцульщина» створений Указом Президента України від 14 травня 2002 року. Він розташований у межах Косівського району Івано-Франківської області й охоплює площу в 32271 гектарів. Із цієї площ ...