Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші
Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН:
Відображення метричних просторів називається неперервним в точці
, якщо для довільної кулі
в
з центром в
існує куля
в Х з центром в
, образ
якої міститься в
. Інакше кажучи,
неперервне в
, якщо образи точок, достатньо близьких до
, є близькими до
. Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою
, а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.
Твердження
Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці
за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в
за Коші.
Доведення
Нехай неперервне в точці
за Гейне. Припустимо,що
не є неперервним в
за Коші. Тоді для деякого
в кожній кулі
,
, міститься
, для якого
. Позначимо ту точку з
, образ якої не лежить в
, як
. Оскільки
, то
при
, але
, тому
не
прямує до і
не є неперервним в
за Гейне – отримано суперечність.
Інші цікаві матеріали
Створення топографічного плану стереографічним методом на Жмеринському
Фотограмметрія вивчає властивості
фотозображення, методів його отримання і вимірювання, розробка приладів для
вимірювання і перетворення фотознімків. Фотограмметрія особливо поширена в
топографії. Переважна більшість ка ...
Регіональний господарський комплекс, його галузева та територіальна структура
Розвиток
національної економіки супроводжується поглибленням суспільного поділу праці і
спеціалізації діяльності. Процеси спеціалізації потребують координації
діяльності і формування зв'язків між різними галузями і виро ...
Вугільна промисловість Украни. Основні проблеми та перспективи розвитку
Вибір основного напрямку розвитку економіки будь-якої
країни залежить насамперед від наявності й характеру власної
мінерально-сировинної бази. Єдиним енергоносієм, якого в Україні потенційно
достатньо для повного забезп ...