Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН:

Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження

Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення

Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому

не

прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Інші цікаві матеріали

Географічна характеристика Туреччини
Туреччина – ісламська держава в Західній Азії і Європі. Площа країни – 781 тис. км. кв. Населення – 65 млн. чол. Столиця – Анкара. Форма правління – республіка. Форма територіального пристрою – унітарна держава. Туреччи ...

Застосування земельно-кадастрових робіт в методиці проекту
Метою моєї курсової роботи з основ земельного кадастру є закріплення отриманих знань та їх застосування на практиці при виготовленні технічної документації зе землекористувачам різних форм власності з виконанням кадастр ...

Експертна грошова оцінка земельних ділянок в м. Коломиї ВСТУП Земля як
Земля як основний базис усіх процесів життєдіяльності суспільства в політичній, економічній, соціальній, виробничій, комунальній, екологічній та інших сферах має вартість, оцінка якої є умовою нормального функціонування ...