Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН:

Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження

Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення

Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому

не

прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Інші цікаві матеріали

Дослідження яружно-балочного рельєфу Кривбасу як одного з елементів знань про природу рідного краю на заняттях географічного гуртка
Однією з базових складових частин географічної освіти є знання про найближче географічне оточення – природу рідного краю. Найбільш ефективному і поглибленому засвоєнню краєзнавчого матеріалу сприяє активне самостійне до ...

Калінінградська область на карті Європи
На основі рішень Потсдамської конференції (1945 р.) частину Східної Пруссії (район Німеччини) увійшла до складу Російської Федерації. До квітня 1946 року на цій території знаходився Кенігсберзький особливий військовий о ...

Економіко-географічна характеристика Миколаїва
Миколаїв - місто, яке живе своєю особливою, не схожою ні на чию іншу, життя. В порівнянні з іншими містами він молодий - йому всього лише 200 з невеликим. Але за ці роки він зміг перетворитися з дикої і необжитої місцев ...