Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН:

Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження

Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення

Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому

не

прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Інші цікаві матеріали

Моя мала батьківщина м. Миколаїв
В даній роботі я досліджував природні умови, географічні особливості, кліматичні характеристики моєї малої батьківщини - міста Миколаєва. Впродовж свого існування Миколаїв завоював міцний авторитет як важливий ділови ...

Перспективи розвитку і розміщення господарського комплексу Житомирської області
Курсова робота показує, наскільки глибокими і фундаментальними є знання, що набуті студентами при вивченні курсу, характеризує вміння самостійно досліджувати окремі питання теми. Курсова робота як важлива форма учбово ...

Конденсаційні та сублімаційні процеси в атмосфері
Атмосфера являє собою повітряну оболонку навколо земної поверхні, яка бере участь в обертанні Землі. Метеорологія - це наука про атмосферу - повітряну оболонку Землі, яка оточує земну поверхню, наука про фізичні проце ...