Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН:

Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження

Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення

Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому

не

прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Інші цікаві матеріали

Сінгапур
При виборі країни для написання аналітичної довідки я зразу визначилась, що хочу писати про Сінгапур. Для мене актуальність полягає в тому, що це одночасно острів, місто і одна з найменших за територією і населенням держ ...

На землі на рідній
Існує наука про географічні назви – топоніміка. Саме вона дозволяє пояснити не тільки смисл назви мого села, а й встановити віхи його історії. Нині, коли небувало зріс інтерес громадськості до історичних знань, як нікол ...

Грошова оцінка населених пунктів Назавизівської сільської ради
У наш час, мабуть, вже мало кого може здивувати інформація про недостатність коштів місцевого бюджету на проведення різноманітних робіт. Проблеми, пов’язані з розірванням кола постійної недостатності наявних бюдже ...