Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН:

Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження

Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення

Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому

не

прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Інші цікаві матеріали

Паливно-енергетичний комплекс України
Прискорений соціально-економічний розвиток країни нерозривно пов'язаний з рівнем розвитку всіх галузей паливно-енергетичного комплексу, вдосконалення енергетичного балансу з обов'язковим врахуванням досягнень науково-тех ...

Аналітичний огляд розміщення продуктивних сил Львівської області
Льві́вська о́бласть —адміністративно-територіальна одиниця (область) на крайньому заході України. Є однією з трьох областей історично-культурного регіону Галичина, частиною Карпатського єврорегіону. Одна з на ...

Земельний кадастр і аналіз проекту використання земель Космацької сільської ради Богородчанського району Івано-Франків
Серед найважливіших проблем сьогодні особливе місце посідає проблема економічного використання, збереження і відтворення природних ресурсів. А серед природних комплексів особливе місце має земля. Прийнята Верховною Р ...