Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза.
Топологією на множині Х наз. довільна сім’я її підмножин, для якої виконано умови: 1)множини та Х належать до ; 2)
для довільних перетин ; 3)для кожної сім’ї об’єднання її елементів належить до .
Пару (Х, ), де Х – множина, – топологія на Х, наз. топологічним простором. Елементи наз. відкритими множинами в просторі (Х, ). Доповнення до відкритих множин наз. замкненими множинами в топології .
Твердження.Множини в (псевдо)метричному просторі (Х,d), відкриті відносно (псевдо)метрики d, утворюють деяку топологію Множини, замкнені відносно d, збігаються з множинами, замкненими в .
Отже, один з способів отримати топологію на множині Х – обрати на Х (псевдо)метрику d та утворити сім’ю з усіх множин, відкритих відносно d. Кажемо, що топологія породжується (псевдо)метрикою d.
Простий спосіб утворити топологію на множині Х полягає у тому, щоб включити в всі підмножини в Х, оголосивши всі множини відкритими. Така топологія наз. дискретною топологією на Х.
Якщо і – топології на Х, і , то наз. меншою або слабшою, – більшою або сильнішою. Дискретна топологія є найсильнішою з топологій на Х. Інша крайність – антидискретна топологія , яка за означенням топології міститься в кожній топології на Х, і, отже, є найслабшою. Оскільки в метричному просторі кожна точка є замкненою множиною, що не виконується для антидискретної топології, то ця топологія не може бути заданою метрикою, але породжується нульовою псевдометрикою.
Сім’я В підмножин топологічного простору (Х, ) наз. його базою або базою топології, якщо всі елементи В відкриті (тобто ), і відкрита кожна множина є об’єднанням деякої сім’ї F елементів В.
Твердження.
Сім’я В підмножин множини Х є базою топології на Х тоді і тільки тоді, коли , і для кожної точки х довільної відкритої множини існує , для якого.
Інші цікаві матеріали
Комплексна фізико-географічна характеристика Австралії
Австралія
- найменший материк на Землі. Разом із прилеглими до неї островами вона цілком
повністю лежить в південній півкулі. Назва цього материка, який був відкритий
та заселений найпізніше, у порівнянні з іншими матер ...
Геоекоінформаційна система екологічного моніторингу та кодування екологічної інформації
Застосування нових інформаційних технологій для
складання, аналізу і інтерпретації тематичних карт стало повсякденною
необхідністю. Довгий час розвиток технології тематичної картографії і
прогнозування природних і техно ...
Економіко-географічна характеристика Миколаїва
Миколаїв - місто, яке живе своєю
особливою, не схожою ні на чию іншу, життя. В порівнянні з іншими містами він
молодий - йому всього лише 200 з невеликим. Але за ці роки він зміг
перетворитися з дикої і необжитої місцев ...