Аксіоми відокремленості.Гаусдорфові, регулярні та нормальні простори.

Аксіома .

Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , або . Х

х у U

Аксіома .

Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , Тоді і для у існує така відкрита множина V, що .

Х З , але з

не випливає .

х U V у

Аксіома .

Для кожних точок , , існують відкриті множини U і V, для яких і .

Х З

випливає , але не навпаки

х у Топологічні простори, в яких виконано , наз. гаусдорфовими.

U V Околом множини А в топологічному просторі Х наз. будь-яку

Відкриту множину , яка містить А.

Аксіома

. Для кожної точки , яка не належить замкненій множині , існують відкриті множини U та V, для яких і .

Х Дійсно, нехай топологія на Х задається метрикою d, і точка х

не належить замкненій в Х множині F. Доповнення Х\F

х U V F відкрите і містить х, отже, існує куля . Куля

та об’єднання відкриті неперетинні

і містять відповідно х і F.

Аксіому

можна сформулювати інакше: для кожного околу U довільної точки існує окіл , для якого .

Твердження.

З аксіом і

випливає .

Дов.

Нехай в Х виконано і

Інші цікаві матеріали

Паливні корисні копалини нафта, газ, вугілля, сланці,
Паливні корисні копалини – це природні та мінеральні речовини, які з достатнім економічним ефектом використовуються в техніці та народному господарстві для давання тепла та інших корисних речовин. Як відомо, в ...

Заповідник “Гуцульщина” Національний природний парк «Гуцульщина» створений
Національний природний парк «Гуцульщина» створений Указом Президента України від 14 травня 2002 року. Він розташований у межах Косівського району Івано-Франківської області й охоплює площу в 32271 гектарів. Із цієї площ ...

Економіко-географічна характеристика Чілі
Чилі - держава на Південному - Заході Південної Америки. На Півночі межує з Перу, на Сході - з Аргентиною та Болівією, на Заході омивається водами Тихого океану. До складу території входять прибережні острови Чилійськог ...