Аксіоми відокремленості.Гаусдорфові, регулярні та нормальні простори.

Аксіома .

Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , або . Х

х у U

Аксіома .

Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , Тоді і для у існує така відкрита множина V, що .

Х З , але з

не випливає .

х U V у

Аксіома .

Для кожних точок , , існують відкриті множини U і V, для яких і .

Х З

випливає , але не навпаки

х у Топологічні простори, в яких виконано , наз. гаусдорфовими.

U V Околом множини А в топологічному просторі Х наз. будь-яку

Відкриту множину , яка містить А.

Аксіома

. Для кожної точки , яка не належить замкненій множині , існують відкриті множини U та V, для яких і .

Х Дійсно, нехай топологія на Х задається метрикою d, і точка х

не належить замкненій в Х множині F. Доповнення Х\F

х U V F відкрите і містить х, отже, існує куля . Куля

та об’єднання відкриті неперетинні

і містять відповідно х і F.

Аксіому

можна сформулювати інакше: для кожного околу U довільної точки існує окіл , для якого .

Твердження.

З аксіом і

випливає .

Дов.

Нехай в Х виконано і

Інші цікаві матеріали

Генезис океану
Об’єкт: океан. Предмет: генезис океану. Мета курсової роботи: встановити походження світового океану. Завдання: підрозділ Світового океану на окремі частини, будова земної кори в області океанів, основні риси ре ...

Господарство Росії
Росія має значний економічний потенціал, що становить майже 60 % колишньо­го економічного потенціалу СРСР. Проте за рівнем економічного розвитку країна посідає 25-27 місце в світі. Для господарства Російської Федерації ...

Гірські зледеніння Азії ґенеза, географія, прогноз розвитку
Актуальність теми. Гірські льодовики - льодовики в горах. Характерна їх особливість - наявність чітко виражених областей живлення, тобто фірнових басейнів, у межах яких відбувається накопичення снігу та подальше його пе ...