Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Твердж

. Множина з стандартною топологією є зв’язною.

Довед

. Припустимо протилежне. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин і . Будемо вважати, що існують , , для яких . Множина не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань . За побудовою в кожному проміжку міститься елемент з , а в кожному проміжку – елемент з . Отже, – спільна точка дотику диз’юнктних множин і , і вони не можуть одночасно бути замкненими.

Наслідок

. Одиничний відрізок з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж

. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

Твердж

. Неперервний образ зв’язного простору , тобто простір , на який існує неперервне відображення з зв’язного простору, є зв’язним.

Довед

. Припустимо, що в існує не порожня відкрито-замкнена множина . За властивостями неперервних відображень її прообраз теж є відкрито-замкненим, а за сюр’єктивністю він є непорожнім і не рівним . Отже, незв’язний, що суперечить умові.

Твердж

. Довільне об’єднання сім’ї , зв’язних множин простору , які мають спільну точку , є зв’язним.

Інші цікаві матеріали

Розробка, формування та ведення індексних кадастрових карт засобами ГІС
Термін "Земля" має багато визначень. Для економіста це ресурс для прискорення економічного розвитку, для юриста частина простору від центра землі до неба з набором різноманітних прав для визначених цілей. Для ...

Порівняльна економіко-географічна характеристика Північно-Західного та Північно-Східного економічних районів
Територія України за всі роки свого існування зазнавала великих територіальних змін. Сучасна державна територія остаточно сформувалась у першій половині 50-х років нинішнього століття. Територія і населення району має с ...

Економічне районування та територіальна організація господарства
Актуальність теми «Економічне районування та територіальна організація господарства» полягає в тому, що розвиток галузей народного господарства, виробничих комплексів, соціально-виробничої інфраструктури, а також господ ...