Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Твердж

. Множина з стандартною топологією є зв’язною.

Довед

. Припустимо протилежне. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин і . Будемо вважати, що існують , , для яких . Множина не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань . За побудовою в кожному проміжку міститься елемент з , а в кожному проміжку – елемент з . Отже, – спільна точка дотику диз’юнктних множин і , і вони не можуть одночасно бути замкненими.

Наслідок

. Одиничний відрізок з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж

. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

Твердж

. Неперервний образ зв’язного простору , тобто простір , на який існує неперервне відображення з зв’язного простору, є зв’язним.

Довед

. Припустимо, що в існує не порожня відкрито-замкнена множина . За властивостями неперервних відображень її прообраз теж є відкрито-замкненим, а за сюр’єктивністю він є непорожнім і не рівним . Отже, незв’язний, що суперечить умові.

Твердж

. Довільне об’єднання сім’ї , зв’язних множин простору , які мають спільну точку , є зв’язним.

Інші цікаві матеріали

Методика оперативного виправлення топографічних  карт  з
Топографічна карта є одним з основних засобів оцінки місцевості і управління військами. Зміст топографічної карти відображає фактичний стан місцевості і, в першу чергу, основних її елементів, що мають важливе значення д ...

Вугільна промисловість Украни. Основні проблеми та перспективи розвитку
Вибір основного напрямку розвитку економіки будь-якої країни залежить насамперед від наявності й характеру власної мінерально-сировинної бази. Єдиним енергоносієм, якого в Україні потенційно достатньо для повного забезп ...

Урбанізація як всесвітній процес. Географія найбільших мегалополісів світу
Вивчаючи тему “Населення світу”, ми говорили про розміщення населення і форми розселення, мене зацікавив всесвітній процес урбанізації. Постала мета простежити процес урбанізації в розвитку росту міст до виникнення а ...