Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Твердж

. Множина з стандартною топологією є зв’язною.

Довед

. Припустимо протилежне. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин і . Будемо вважати, що існують , , для яких . Множина не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань . За побудовою в кожному проміжку міститься елемент з , а в кожному проміжку – елемент з . Отже, – спільна точка дотику диз’юнктних множин і , і вони не можуть одночасно бути замкненими.

Наслідок

. Одиничний відрізок з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж

. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

Твердж

. Неперервний образ зв’язного простору , тобто простір , на який існує неперервне відображення з зв’язного простору, є зв’язним.

Довед

. Припустимо, що в існує не порожня відкрито-замкнена множина . За властивостями неперервних відображень її прообраз теж є відкрито-замкненим, а за сюр’єктивністю він є непорожнім і не рівним . Отже, незв’язний, що суперечить умові.

Твердж

. Довільне об’єднання сім’ї , зв’язних множин простору , які мають спільну точку , є зв’язним.

Інші цікаві матеріали

Австралія – держава і континет
Австралійський Союз (англ. Commonwealth of Australia), Австралія (англ. Australia, від лат. austr ā lis"південний") - держава в Південній півкулі, розташована на материку Австралія, острові Тасманія та к ...

Розвиток і розміщення виробництва мінеральних вод України
Удосконалення господарського механізму України в період формування ринкової економіки здійснюється на основі проведення економічних досліджень, у тому числі в галузі розміщення продуктивних сил. Пізнання законів розміще ...

Соціальна інфраструктура Чемеровецького району
Актуальність дослідження. Проблеми розвитку й раціональної територіальної організації соціальної сфери набувають у наш час першорядного значення, оскільки все зростаюча частина населення зайнята в сфері послуг, а рівень ...