Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Твердж

. Множина з стандартною топологією є зв’язною.

Довед

. Припустимо протилежне. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин і . Будемо вважати, що існують , , для яких . Множина не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань . За побудовою в кожному проміжку міститься елемент з , а в кожному проміжку – елемент з . Отже, – спільна точка дотику диз’юнктних множин і , і вони не можуть одночасно бути замкненими.

Наслідок

. Одиничний відрізок з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж

. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

Твердж

. Неперервний образ зв’язного простору , тобто простір , на який існує неперервне відображення з зв’язного простору, є зв’язним.

Довед

. Припустимо, що в існує не порожня відкрито-замкнена множина . За властивостями неперервних відображень її прообраз теж є відкрито-замкненим, а за сюр’єктивністю він є непорожнім і не рівним . Отже, незв’язний, що суперечить умові.

Твердж

. Довільне об’єднання сім’ї , зв’язних множин простору , які мають спільну точку , є зв’язним.

Інші цікаві матеріали

Земельний кадастр і використання земель Ковалівської сільської
Земля є вихідною матеріальною основою добробуту як кожної людини окремо, так і суспільство в цілому, оскільки виконує функції головного засобу виробництва в сільському і лісовому господарствах; просторового базису для р ...

Загальні відомості про топографічні знімання і знімальні мережі
Одним з основних завдань геодезичної галузі в Україні є забезпечення народного господарства топографо-геодезичною і картографічною продукцією. На сьогоднішній день на всю територію України складені топографічні карти ма ...

Особливості територіально–галузевої структури Автономної Республіки Крим
Крим – це особливий культурно-історичний регіон України. Кримська земля береже пам`ятки всіх історичних епох, тому її прийнято називати музеєм під відкритим небом, золотим дном для археології. Історичне минуле Криму сві ...