Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Твердж

. Множина з стандартною топологією є зв’язною.

Довед

. Припустимо протилежне. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин і . Будемо вважати, що існують , , для яких . Множина не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань . За побудовою в кожному проміжку міститься елемент з , а в кожному проміжку – елемент з . Отже, – спільна точка дотику диз’юнктних множин і , і вони не можуть одночасно бути замкненими.

Наслідок

. Одиничний відрізок з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж

. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

Твердж

. Неперервний образ зв’язного простору , тобто простір , на який існує неперервне відображення з зв’язного простору, є зв’язним.

Довед

. Припустимо, що в існує не порожня відкрито-замкнена множина . За властивостями неперервних відображень її прообраз теж є відкрито-замкненим, а за сюр’єктивністю він є непорожнім і не рівним . Отже, незв’язний, що суперечить умові.

Твердж

. Довільне об’єднання сім’ї , зв’язних множин простору , які мають спільну точку , є зв’язним.

Інші цікаві матеріали

Проект відведення земельної ділянки під ковбасний цех
Метою курсової роботи з основ земельного кадастру є закріплення отриманих знань та їх застосування на практиці при виготовленні технічної документації землекористувачам різних форм власності з використанням кадаст ...

Перспективи розвитку і розміщення господарського комплексу Житомирської області
Курсова робота показує, наскільки глибокими і фундаментальними є знання, що набуті студентами при вивченні курсу, характеризує вміння самостійно досліджувати окремі питання теми. Курсова робота як важлива форма учбово ...

Аналітичний огляд розміщення продуктивних сил Львівської області
Льві́вська о́бласть —адміністративно-територіальна одиниця (область) на крайньому заході України. Є однією з трьох областей історично-культурного регіону Галичина, частиною Карпатського єврорегіону. Одна з на ...