Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Довед

. Припустимо протилежне. Тоді підпростір є незв’язним в індукованій топології і зображається як диз’юнктне об’єднання не порожніх відкрито-замкнених в множин і . Принаймні одна з них, наприклад, містить . Оскільки кожен з є підпростором , всі перетини є відкрито-замкнені в і непорожні (оскільки містять ). Зі зв’язності всіх випливає, що , тобто для всіх . Звідси , і , , що суперечить припущенню.

Твердж

. Якщо кожні дві точки множини топологічного простору лежать у зв’язній підмножині , то множина – зв’язна.

Якщо для довільної точки об’єднати всі зв’язні множини, які містять , то отримаємо найбільшу в зв’язну множину серед тих, які містять . Вона назив. компонентою зв’язності або компонентою точки .

Твердж

. Замикання зв’язної множини простору є зв’язним.

Довед

. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених в множин і . Тоді їх сліди і є диз’юнктними і замкненими в , звідки за зв’язністю один з них, скажімо, , рівний . Отже, лежить в замкненій в множині , і в немає точок дотику . Але за умовою, , звідки – суперечність.

Інші цікаві матеріали

Місто та його структура
В процесі урбанізації рельєф освоюваної території піддається перетворенням відповідно до потреб певного етапу розвитку міста. Основною тенденцією в зміні міського рельєфу можна вважати його вирівнювання, зв'язана з план ...

Рекреаційні ресурси України
Рекреаційні ресурси - сукупність природних та антропогенних об'єктів і явищ, що їх можна використовувати для відпочинку, лікування й туризму. Природні рекреаційні ресурси - це особливості природи, природні та природно-т ...

Земельний кадастр і використання земель Ковалівської сільської ради
Земля є вихідною матеріальною основою добробуту як кожної людини окремо, так і суспільства в цілому, оскільки виконує функції головного засобу виробництва в сільському і лісовому господарствах; просторового базису для р ...