Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Довед

. Припустимо протилежне. Тоді підпростір є незв’язним в індукованій топології і зображається як диз’юнктне об’єднання не порожніх відкрито-замкнених в множин і . Принаймні одна з них, наприклад, містить . Оскільки кожен з є підпростором , всі перетини є відкрито-замкнені в і непорожні (оскільки містять ). Зі зв’язності всіх випливає, що , тобто для всіх . Звідси , і , , що суперечить припущенню.

Твердж

. Якщо кожні дві точки множини топологічного простору лежать у зв’язній підмножині , то множина – зв’язна.

Якщо для довільної точки об’єднати всі зв’язні множини, які містять , то отримаємо найбільшу в зв’язну множину серед тих, які містять . Вона назив. компонентою зв’язності або компонентою точки .

Твердж

. Замикання зв’язної множини простору є зв’язним.

Довед

. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених в множин і . Тоді їх сліди і є диз’юнктними і замкненими в , звідки за зв’язністю один з них, скажімо, , рівний . Отже, лежить в замкненій в множині , і в немає точок дотику . Але за умовою, , звідки – суперечність.

Інші цікаві матеріали

Республіка Індонезія
Республіка Індонезія в даний час, завдяки раціональної економічній політиці і успішним реформам, перетворилася в аграрно-індустріальну державу. За багатьма показниками цю країну вже зараз відносять до групи нових індуст ...

Адміністративно-територіальна реформа в Україні
Адміністративно-територіальний поділ (АТП) - найбільш виразно помітна, юридично закріплена форма регіоналізації суспільства. Він являє собою поділ території держави на адміністративно керовані частини (адміністративно-т ...

Регіональна економіка сільського господарства України
Україна – самостійна суверенна держава українського народу. Вона є однією із найбільших країн Європи, її площа 603,7 тис. км2., що становить 0,4 % площі земної суші. Земельні ресурси виступають територіальною базою розм ...