Задача Ганзена

Суть задачі Ганзена полягає у визначенні координат двох точок Р і Q, якщо відомі координати двох вихідних точок А (ХА, УА) і В (ХВ, УВ) та виміряні кути b1, b2, b3 і b4 (рис. 6.11)

Рис. 6.11 Задача Ганзена

Кути b1, b2, b3 і b4 вимірюють в точках Р і Q двома круговими заходами теодолітами не менше 30″ точності. Різниці приведених до загального нуля однойменних напрямків з двох заходів на пунктах Р і Q не повинні бути більшими за 45″.

Відомо багато методів розв’язання цієї задачі.

Нижче приводиться метод розв’язання задачі, запропонований Ганзеном.

Задачу розв’язують в такій послідовності:

Довжину лінії РQ умовно приймають рівною довільній довжині, наприклад, (РQ)′=1000 м.

Розв’язують DАРQ і DВРQ, звідки знаходять умовні значення сторін

; .

Невідомі кути j1 і j2 при вихідних точках А і В знаходять з DАQB.

Для цього записують систему з двох рівнянь, а саме:

,

З розв’язання якої знаходять кути j1 і j2.

В цій системі перше рівняння — очевидне, випливає з суми кутів трикутника, яка дорівнює 180º, друге — залежність тангенсів піврізниці і півсуми двох кутів трикутника.

Подаємо доведення цієї залежності, запропоноване С.І.Гургулою.

Відома теорема:

Якщо

то

Справді, з (6.42)

Виконаємо перетворення рівності (6.43)

,

звідки

тобто з рівності (6.42) отримали рівність (6.41).

Запишемо для DАQB:

за теоремою синусів

а отже, за аналогією до (6.41) і (6.42) запишемо:

Перетворимо (6.45)

тобто доведено друге рівняння системи (6.40)

Аналогічно знаходять невідомі кути j2 та ψ1 з DАРB.

Запишемо для цього трикутника таку систему з двох рівнянь:

Після знаходження кутів j1 та ψ2, j2 та ψ1 обчислюють довжину сторони АВ=l′ в умовних одиницях двічі:

Дійсна сторона АВ=l відома

Одержують коефіцієнт переходу від умовних одиниць до дійсних

Інші цікаві матеріали

Мішані ліси. Своя область (урок). Мета Поглиблення знання учнів про природу, особливості
Мета Поглиблення знання учнів про природу, особливості мішаних лісів. Збагатити новими знаннями про природу і господарство свого краю.Розвивати навички роботи з картою, пошуковим матеріалом. Виховання професійних н ...

Ґрунти Українських Карпат
Ґрунт - це особливе природно-історичне тіло, складна поліфункціональна чотирифазна структурна система у поверхневій частині кори вивітрювання гірських порід, яка є комплексною функцією гірської породи, організмів, кліма ...

Пустельні примітивні ґрунти
Ґрунтозна́вство — наука про ґрунти, розділ інженерної геології, що вивчає склад, будову і властивості ґрунтів, закономірності їх формування і розвитку. Ґрунтознавство займається вивченням генезису, еволюції, біопро ...