Задача Ганзена
Суть задачі Ганзена полягає у визначенні координат двох точок Р і Q, якщо відомі координати двох вихідних точок А (ХА, УА) і В (ХВ, УВ) та виміряні кути b1, b2, b3 і b4 (рис. 6.11)
Рис. 6.11 Задача Ганзена
Кути b1, b2, b3 і b4 вимірюють в точках Р і Q двома круговими заходами теодолітами не менше 30″ точності. Різниці приведених до загального нуля однойменних напрямків з двох заходів на пунктах Р і Q не повинні бути більшими за 45″.
Відомо багато методів розв’язання цієї задачі.
Нижче приводиться метод розв’язання задачі, запропонований Ганзеном.
Задачу розв’язують в такій послідовності:
Довжину лінії РQ умовно приймають рівною довільній довжині, наприклад, (РQ)′=1000 м.
Розв’язують DАРQ і DВРQ, звідки знаходять умовні значення сторін
; ; |
(6.39) |
; .
Невідомі кути j1 і j2 при вихідних точках А і В знаходять з DАQB.
Для цього записують систему з двох рівнянь, а саме:
. |
(6.40) |
,
З розв’язання якої знаходять кути j1 і j2.
В цій системі перше рівняння — очевидне, випливає з суми кутів трикутника, яка дорівнює 180º, друге — залежність тангенсів піврізниці і півсуми двох кутів трикутника.
Подаємо доведення цієї залежності, запропоноване С.І.Гургулою.
Відома теорема:
Якщо
, |
(6.41) |
то
. |
(6.42) |
Справді, з (6.42)
|
(6.43) |
Виконаємо перетворення рівності (6.43)
,
звідки
тобто з рівності (6.42) отримали рівність (6.41).
Запишемо для DАQB:
за теоремою синусів
, |
(6.44) |
а отже, за аналогією до (6.41) і (6.42) запишемо:
; |
(6.45) |
Перетворимо (6.45)
тобто доведено друге рівняння системи (6.40)
Аналогічно знаходять невідомі кути j2 та ψ1 з DАРB.
Запишемо для цього трикутника таку систему з двох рівнянь:
, |
(6.46) |
Після знаходження кутів j1 та ψ2, j2 та ψ1 обчислюють довжину сторони АВ=l′ в умовних одиницях двічі:
. |
(6.47) |
Дійсна сторона АВ=l відома
. |
(6.48) |
Одержують коефіцієнт переходу від умовних одиниць до дійсних
. |
(6.49) |
Інші цікаві матеріали
Розробка комплексу геодезичних та землевпорядних робіт при складанні еколого-економічного проекту на території Вікторів
Управління
земельними ресурсами дозволяє тримати руку на “пульсі” втілення земельної
політики в реальне життя. Адже ліквідація монополії державної власності на
землю зініціювала створення приватних агро групувань, ...
На землі на рідній
Існує наука про географічні назви – топоніміка. Саме вона
дозволяє пояснити не тільки смисл назви мого села, а й встановити віхи його
історії. Нині, коли небувало зріс інтерес громадськості до історичних знань, як
нікол ...
Економіко-географічна характеристика Миколаїва
Миколаїв - місто, яке живе своєю
особливою, не схожою ні на чию іншу, життя. В порівнянні з іншими містами він
молодий - йому всього лише 200 з невеликим. Але за ці роки він зміг
перетворитися з дикої і необжитої місцев ...